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2022年天津市“高职升本科”高等数学考试参考答案与解析，包含选择题、填空题和解答题。选择题涉及极限、函数定义域、导数、积分、向量等知识点；填空题考察极限、切线方程、奇函数积分、偏微分等；解答题要求求解参数值。
2022年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学参考答案与解析
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、单项选择题
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答案：D
解析：当 \( x \to 0 \) 时，\(\cos 2x - 1 \sim -2x^2\)，\(\ln (1 - 2x) \sim -2x\)，\(x \sin 2x \sim 2x^2\)，\(e^{2x} - 1 \sim 2x\)。
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答案：B
解析：\(f(x) = (\sqrt{x})^2\) 定义域为 \([0, +\infty)\)，\(g(x) = \sqrt{x^2}\) 定义域为 \((-\infty, +\infty)\)，排除 A；\(f(x) = x + 1\) 定义域为 \((-\infty, +\infty)\)，\(g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 定义域为 \((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\)，排除 C；\(f(x) = \ln x^2\) 定义域为 \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)，\(g(x) = 2 \ln x\) 定义域为 \((0, +\infty)\)，排除 D。
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答案：A
解析：\(y' = -\sin x \cdot \cos (\cos x)\)，\(y' \left( \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \frac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \cos \frac{\pi}{2} \right) = -1\)。
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答案：B
解析：\(\int e^{-x} dx = -\int e^{-x} d(-x) = -e^{-x} + C\)。
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答案：C
解析：\(\vec{a} - \vec{b} = (1 - k, 2, 2)\)，\(\left( \vec{a} - \vec{b} \right) \cdot \vec{a} = (1 - k) \times 1 + 2 \times 2 + 2 \times (-1) = 0\)，求得 \(k = 3\)。
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答案：A
解析：定义域为 \((-\infty, +\infty)\)，\(f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)\)，求得驻点 \(x = 0\)，\(x = \pm 1\)。
\(x\) \((-\infty, -1)\) \((-1, 0)\) \((0, 1)\) \((1, +\infty)\) \(f'(x)\) \(-\) \(+\) \(-\) \(+\) \(f(x)\) \(\searrow\) \(\nearrow\) \(\searrow\) \(\nearrow\)
第Ⅱ卷
二、填空题
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答案：\(\frac{1}{2}\)
解析：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{2x^2 - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{3}{x^2}} = \frac{1}{2} \]
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答案：\( x - 3y + 3 = 0 \)
解析：\[ y' = \frac{1}{3}(1 + x)^{-\frac{2}{3}} \]，\( y'|_{x=0} = \frac{1}{3} \)，所以切线方程为 \( y - 1 = \frac{1}{3}x \)，即 \( x - 3y + 3 = 0 \)。
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答案：2
解析：因为 \( x\sqrt{1 - x^2} \) 为奇函数，所以 \[ \int_{-1}^{1} (1 + x\sqrt{1 - x^2}) dx = \int_{-1}^{1} 1 dx = 2 \]
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答案：\( 2dx - 2dy \)
解析：\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2(x - y) \]，\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -2(x - y) \]，所以 \( dz = 2(x - y)dx - 2(x - y)dy \)，即 \( dz|_{(1,0)} = 2dx - 2dy \)。
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答案：3
解析：\[ f'(x) = 2x + e^x \]，\[ f''(x) = 2 + e^x \]，所以 \( f''(0) = 2 + e^0 = 3 \)。
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答案：9
解析：\[ \iint_D \frac{x^2}{y} dxdy = \int_{1}^{e} \frac{1}{y} dy \int_{0}^{3} x^2 dx = \int_{1}^{e} \frac{1}{y} \cdot \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{3} dy = \int_{1}^{e} \frac{9}{y} dy = 9 \ln y \bigg|_{1}^{e} = 9 \]
三、解答题
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答案：\( a = 1 \)，\( b = \frac{1}{2} \)
解析：\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) =
