2018年天津专升本数学真题参考答案

一、选择题

1. 答案：A
2. 答案：C
3. 答案：B
4. 答案：D
5. 答案：B
6. 答案：A

二、填空题

7. 答案：1
8. 答案：\((-\frac{1}{3},1)\)
9. 答案：\(\sqrt{x+1}+c\)（c为任意实数）
10. 答案：\(e^{x^2}\)
11. 答案：\(2e^{2x-y}dx - e^{2x-y}dy\)
12. 答案：\(\frac{1}{2}\)

三、解答题

13. 答案：\(a = b = 2\)
    解析：因为 \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+bx)}{x} = b\)，\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{x} = 2\)，又因为函数 \(f(x)\) 在点 \(x=0\) 处连续，所以 \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = a\)，即 \(a = b = 2\)。
14. 答案：

    1. 面积 \(S = \frac{1}{2} + \ln 2\)
    2. 体积 \(V = \frac{5\pi}{6}\)
    解析：由方程组 \(\begin{cases} y = x \\ y = \frac{1}{x} \end{cases}\) 得交点 \((1,1)\)。

    （1）面积 \(S = \int_0^1 x dx + \int_1^2 \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2} x^2 \bigg|_0^1 + \ln x \bigg|_1^2 = \frac{1}{2} + \ln 2\)。

    （2）体积 \(V = \pi \int_0^1 x^2 dx + \pi \int_1^2 \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx = \frac{\pi}{3} x^3 \bigg|_0^1 + \pi \left(-\frac{1}{x}\right) \bigg|_1^2 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}\)。

15. 答案：

    1. 通解 \(y = Ce^{\sin x}\)（其中 \(C\) 是任意实数）
    2. 特解 \(y = e^{2x} + e^{4x}\)
    解析：

    （1）当 \( y \neq 0 \) 时，将原方程分离变量得 \(\frac{1}{y} dy = \cos x dx\)，两边同时积分得 \(\ln|y| = \sin x + C_1\)，整理得 \( y = Ce^{\sin x} \)，其中 \( C = \pm e^{C_1} \)。又因为 \( y = 0 \) 是原方程的解，故原方程的通解为 \( y = Ce^{\sin x} \)（其中 \( C \) 是任意实数）。

    （2）原方程的特征方程根为 \( r^2 - 6r + 8 = 0 \)，解得 \( r_1 = 2, r_2 = 4 \)，所以原方程的通解是 \( y = c_1 e^{2x} + c_2 e^{4x} \)（\( c_1, c_2 \) 为任意实数），从而 \( y' = 2c_1 e^{2x} + 4c_2 e^{4x} \)。由初始条件 \( y(0) = 2 \)，\( y'(0) = 6 \) 得 \(\begin{cases} c_1 + c_2 = 2 \\ 2c_1 + 4c_2 = 6 \end{cases}\)，解得 \( c_1 = 1, c_2 = 1 \)。所以原方程的特解为 \( y = e^{2x} + e^{4x} \)。

16. 答案：函数 \( f(x,y) \) 有唯一的极小值点为 \((2, 2)\)，极小值是 \(-8\)。
    解析：由方程组 \(\begin{cases} f_x'' = 3x^2 - 6y = 0 \\ f_y'' = 3y^2 - 6x = 0 \end{cases}\) 解得驻点 \((0, 0), (2, 2)\)，经计算知，二阶偏导数分别为：\( f_{xx}'' = 6x, f_{yy}'' = f_{yx}'' = -6, f_{yy}'' = 6y \)。对于驻点 \((0, 0)\)，\( A=0, B=-6, C=0 \)，由于 \( B^2 - AC = 36 > 0 \)，所以 \((0, 0)\) 点不是极值点。对于驻点 \((2, 2)\)，\( A=12, B=-6, C=12 \)，由 \( B^2 - AC = -108 < 0 \)，且 \( A > 0 \)，所以 \((2, 2)\) 点是极小值点，极小值为 \( f(2,2) = -8 \)。
17. 答案：平面方程为 \(x - z - 2 = 0\)
    解析：由题意知 \( l_1 \) 和 \( l_2 \) 的方向向量 \( s_1 = s_2 = (2,3,2) \)，取直线 \( l_1 \) 上一点 \( P_1(-1,2,-3) \)，取直线 \( l_2 \) 上一点 \( P_2(3,-1,1) \)，则平面 \(\Pi\) 的法向量 \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{s_{1}} \times \overrightarrow{P_{1}P_{2}} = 18(1,0,-1)\)，故平面 \(\Pi\) 的方程为 \((x+1)-(z+3)=0\)，整理得 \(x - z - 2 = 0\)。