一、选择题

1. 答案：B
2. 答案：A
3. 答案：B
4. 答案：C
5. 答案：D
6. 答案：C

二、填空题

7. 答案：2
8. 答案：1
9. 答案：\( x \ln x - x + C \)
10. 答案：-1
11. 答案：\(\frac{3dx - dy}{3x - y}\)
12. 答案：\(\ln 3\)

三、解答题

13. 答案：\(a = 4\)，\(b = 2\)
    解析：因为 \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + a}{2} = \frac{a}{2}\)，\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin bx}{x} = b\)，\(f(0) = 2\)，又因为函数 \(f(x)\) 在点 \(x = 0\) 处连续，所以 \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)\)，即 \(\frac{a}{2} = b = 2\)，解得 \(a = 4\)，\(b = 2\)。
14. 答案：

    1. 面积 \(S = \frac{5}{6}\)
    2. 体积 \(V_x = \frac{8\pi}{15}\)
    解析：由方程组 \(\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2 - x \end{cases}\)，得交点 \((1,1)\)。

    （1）面积 \(S = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2 - x) dx = \frac{1}{3} x^3 \bigg|_0^1 + \left( 2x - \frac{1}{2} x^2 \right) \bigg|_1^2 = \frac{5}{6}\)。

    （2）体积 \(V_x = \pi \int_0^1 (x^2)^2 dx + \pi \int_1^2 (2 - x)^2 dx = \frac{\pi}{5} x^5 \bigg|_0^1 + \pi \left( 4x - 2x^2 + \frac{1}{3} x^3 \right) \bigg|_1^2 = \frac{8\pi}{15}\)。

15. 答案：

    1. 通解 \(y = Ce^{\frac{1}{2}x^2 + x}\)（其中 \(C\) 是任意实数）
    2. 特解 \(y = 4e^x + 2e^{3x}\)
    解析：

    （1）当 \( y \neq 0 \) 时，将原方程分离变量得 \(\frac{1}{y} dy = (x+1)dx\)，两边同时积分得 \(\ln|y| = \frac{1}{2}x^2 + x + C_1\)，整理得 \( y = Ce^{\frac{1}{2}x^2 + x} \)，其中 \( C = \pm e^{C_1} \)。又因为 \( y = 0 \) 是原方程的解，故原方程的解为 \( y = Ce^{\frac{1}{2}x^2 + x} \)（其中 \( C \) 是任意实数）。

    （2）原方程的特征方程根为 \( r^2 - 4r + 3 = 0 \)，解得 \( r_1 = 1, r_2 = 3 \)，所以原方程的通解是 \( y = c_1e^x + c_2e^{3x} \)（\( c_1, c_2 \) 为任意实数），从而 \( y' = c_1e^x + 3c_2e^{3x} \)。由初始条件 \( y(0) = 6 \)，\( y'(0) = 10 \) 得 \(\begin{cases} c_1 + c_2 = 6 \\ c_1 + 3c_2 = 10 \end{cases}\)，解得 \( c_1 = 4, c_2 = 2 \)。所以原方程的特解为 \( y = 4e^x + 2e^{3x} \)。

16. 答案：平面方程为 \(3x - 3y + z - 1 = 0\)
    解析：由题意可得，平面过 A 点，A(0,0,1)；直线的方向向量 \(\vec{s} = \{1,2,3\}\)。取直线，则平面的一个法向量 \(\overrightarrow{n} = \vec{s} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \{-3,3,-1\}\)。故所求平面的方程为 \(-3x + 3y - (z-1) = 0\)，整理得 \(3x - 3y + z - 1 = 0\)。
17. 答案：函数 \( f(x, y) \) 的极小值点为 \((1, -1)\) 和 \((-1, 1)\)，极小值是 \(-1\)。
    解析：由方程组 \(\begin{cases} f_x' = 4x^3 + 4y = 0 \\ f_y' = 4x + 4y = 0 \end{cases}\) 解得驻点 \((0, 0), (1, -1), (-1, 1)\)。二阶偏导数分别为：\( f_{xx}'' = 12x^2, f_{xy}'' = 4, f_{yy}'' = 4 \)。对于驻点 \((0, 0)\)，\( A=0, B=4, C=4 \)，由于 \( B^2 - AC = 16 > 0 \)，所以 \((0, 0)\) 点不是极值点。对于驻点 \((1, -1)\)，\( A=12, B=4, C=4 \)，由于 \( A > 0 \) 且 \( B^2 - AC = -32 < 0 \)，所以 \((1, -1)\) 点是极小值点，极小值为 \( f(1, -1) = -1 \)。对于驻点 \((-1, 1)\)，\( A=12, B=4, C=4 \)，由于 \( A > 0 \) 且 \( B^2 - AC = -32 < 0 \)，所以 \((-1, 1)\) 点是极小值点，极小值为 \( f(-1, 1) = -1 \)。