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本文为《天津专升本历年真题》(2018~2024)系列配套答案，提供了2021年天津市“高职升本科”高等数学考试的参考答案，涵盖选择题、填空题和解答题。选择题答案包括B、A、B、C、C、D；填空题涉及分数、方程、区间等；解答题包括极限、积分、微分方程等内容，详细解析了每题的解题思路和步骤。

本套参考答案为付费真题试卷套装《天津专升本历年真题》(2018~2024)系列配套答案。

2021年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学参考答案

一、选择题

  1. 答案：B
  2. 答案：A
  3. 答案：B
  4. 答案：C
  5. 答案：C
  6. 答案：D

二、填空题

  1. 答案：\(\frac{1}{2}\)
  2. 答案：\(y = x\)
  3. 答案：\((-1,+\infty)\)
  4. 答案：\(3dx - dy\)
  5. 答案：0
  6. 答案：6

三、解答题

  1. 答案：\(a = 3\)，\(b = 2\)
    解析：因为 \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a-x) = a\), \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left[ \frac{\ln(1+x)}{x} + b \right] = 1 + b\), 又因为函数 \(f(x)\) 在点 \(x=0\) 处连续,所以 \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)\), \(f(0) = 3\), 即 \(a = 1 + b = 3\), 解得 \(a = 3, b = 2\)。
  2. 答案：
    1. 面积 \(S = \frac{4}{3}\)
    2. 体积 \(V_x = \frac{64}{15} \pi\)
    解析：

    （1）由 \(\begin{cases} y = x^2 \\ y = 2x \end{cases}\) 得交点 \((0,0)\) 和 \((2,4)\), 所以 \(S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = \left( x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right)_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\)。

    （2）\(V_x = \pi \int_0^2 \left[ (2x)^2 - (x^2)^2 \right] dx = \pi \int_0^2 (4x^2 - x^4) dx = \pi \left( \frac{4}{3} x^3 - \frac{1}{5} x^5 \right)_0^2 = \frac{64}{15} \pi\)。

  3. 答案：
    1. 通解 \(y = Ce^{2x}\)（其中 \(C\) 是任意实数）
    2. 特解 \(y = 2e^{-x} + 3e^{3x}\)
    解析：

    （1）当 \( y \neq 0 \) 时，将原方程分离变量得 \(\frac{1}{y} dy = 2dx\)，两边同时积分得 \(\ln|y| = 2x + C_1\)，整理得 \( y = Ce^{2x} \)，其中 \( C = \pm e^{C_1} \)。又因为 \( y = 0 \) 是原方程的解，故原方程的解为 \( y = Ce^{2x} \)（其中 \( C \) 是任意实数）。

    （2）原方程的特征方程根为 \( r^2 - 2r - 3 = 0 \)，解得 \( r_1 = -1, r_2 = 3 \)，所以原方程的通解是 \( y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{3x} \)（\( c_1, c_2 \) 为任意实数），从而 \( y' = -c_1 e^{-x} + 3c_2 e^{3x} \)。由初始条件 \( y(0) = 5 \)，\( y'(0) = 7 \) 得 \(\begin{cases} c_1 + c_2 = 5 \\ -c_1 + 3c_2 = 7 \end{cases}\)，解得 \( c_1 = 2, c_2 = 3 \)。所以原方程的特解为 \( y = 2e^{-x} + 3e^{3x} \)。

  4. 答案：函数 \( f(x, y) \) 的极小值点为 \((1, 1)\)，极小值是 \(4\)。
    解析：由 \( f_x' = 3x^2 - 3y = 0 \)，解得驻点 \((0, 0), (1, 1)\)。二阶偏导数分别为：\( f_{xx}'' = 6x, f_{xy}'' = -3, f_{yy}'' = 6y \)。对于驻点 \((0, 0)\)，\( A = 0, B = -3, C = 0 \)，由于 \( B^2 - AC = 9 > 0 \)，所以 \((0, 0)\) 点不是极值点。对于驻点 \((1, 1)\)，\( A = 6, B = -3, C = 6 \)，由于 \( A > 0, B^2 - AC = -27 < 0 \)，所以 \((1, 1)\) 点是极小值点，极小值为 \( f(1,1) = 4 \)。
  5. 答案：直线方程为 \(\frac{x+1}{9} = \frac{y}{5} = \frac{z-4}{-7}\)
    解析：由题意可得，平面 \(\pi\) 的法向量 \(\vec{n} = \{3,-4,1\}\)；直线 \(L_1\) 的方向向量 \(\vec{s}_1 = \{1,1,2\}\)。设直线 \(L\) 的方向向量为 \(\vec{s}\)；则 \(\vec{s} = \vec{n} \times \vec{s}_1 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -\{9,5,-7\}\)。又因为直线 \(L\) 过点 \((-1,0,4)\)，故 \(L\) 的方程为 \(\frac{x+1}{9} = \frac{y}{5} = \frac{z-4}{-7}\)。