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2023年天津市高职升本科高等数学考试参考答案涵盖选择题、填空题和解答题。选择题涉及等价无穷小、函数定义域、微分、向量夹角等；填空题包括极限、切线方程、二阶导数、微分、定积分和二重积分；解答题涉及函数连续性、面积与体积计算、微分方程通解与特解、平面方程及函数极值问题。

2023年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学参考答案

一、选择题

  1. 答案：B
    解析：当 \( x \to 0 \) 时，\(\tan 2x \sim 2x\)，因此与 \( 2x \) 为等价无穷小。
  2. 答案：C
    解析：\( f(x-1) \) 的定义域为 \( x-1 \in [0,3] \)，即 \( x \in [1,4] \)。
  3. 答案：D
    解析：\( f(x) = \sin(x^2) \)，\( f'(x) = 2x \cos(x^2) \)，在 \( x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) 处微分为 \( \frac{\sqrt{2\pi}}{2} dx \)。
  4. 答案：C
    解析：由 \( \vec{a} \perp (2\vec{a} + \vec{b}) \)，得 \( \vec{a} \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 0 \)，解得夹角为 \( \frac{2\pi}{3} \)。
  5. 答案：A
    解析：令 \( u = \frac{1}{x} \)，则 \( \int \frac{1}{x^2} \cos \frac{1}{x} \, dx = -\sin \frac{1}{x} + C \)。
  6. 答案：B
    解析：\( y' = 3x^2 - 3 \)，令 \( y' < 0 \)，得 \( x \in (-1, 1) \)，即单调递减区间为 \( (-1, 1) \)。

二、填空题

  1. 答案：\(\frac{1}{3}\)
    解析：极限 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} = \frac{1}{3} \)。
  2. 答案：\( y = -x + 2 \)
    解析：曲线 \( y = \frac{1}{x} \) 在点 (1,1) 处的切线方程为 \( y = -x + 2 \)。
  3. 答案：-1
    解析：\( y = \ln(x+1) \)，\( y'' = -\frac{1}{(x+1)^2} \)，在 \( x = 0 \) 处二阶导为 -1。
  4. 答案：\( 2dx - dy \)
    解析：\( z = x^2 e^{-y} \)，\( dz = 2x e^{-y} dx - x^2 e^{-y} dy \)，在 \( (1,0) \) 处微分为 \( 2dx - dy \)。
  5. 答案：\( e - \frac{1}{e} \)
    解析：定积分 \( \int_{-1}^{1} (e^x + \frac{2x}{1+x^2}) dx = e - \frac{1}{e} \)。
  6. 答案：\(\frac{1}{2}\)
    解析：二重积分 \( \iint\limits_{D} x \cos y \, dxdy = \frac{1}{2} \)。

三、解答题

  1. 答案：\( a = 2 \)，\( b = 1 \)
    解析：由 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续，得 \( \frac{8}{a^2} + b = a + b = 3 \)，解得 \( a = 2 \)，\( b = 1 \)。
  2. 答案：面积 \( S = \frac{10}{3} \)，体积 \( V = \frac{124}{15}\pi \)
    解析：面积 \( S = \int_{-1}^{1} (x+2 - x^2) dx = \frac{10}{3} \)，体积 \( V = \pi \int_{-1}^{1} (x+2)^2 - x^4 dx = \frac{124}{15}\pi \)。
  3. 答案：（1）\( y = Ce^{x \ln x} \)；（2）\( y = e^{3x} - e^{2x} \)
    解析：（1）微分方程 \( y - y \ln x = 0 \) 的通解为 \( y = Ce^{x \ln x} \)；（2）微分方程 \( y'' - 5y' + 6y = 0 \) 的特解为 \( y = e^{3x} - e^{2x} \)。
  4. 答案：\( 2x + 3z - 5 = 0 \)
    解析：所求平面方程为 \( 2x + 3z - 5 = 0 \)。
  5. 答案：极小值 \( f(3,-3) = -27e^{-3} \)，极大值 \( f(-3,-3) = 81e^{-3} \)
    解析：函数 \( f(x,y) = e^y (x^3 - 3xy^2 - y^3) \) 在点 \( (3,-3) \) 处为极小值，在点 \( (-3,-3) \) 处为极大值。