2025年天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学参考答案

一、选择题

1. D
2. B
3. A
4. C
5. B
6. B

二、填空题

7. \[ e^{2/3} \]
8. \[ 2e^{-2} \]
9. 1
10. \[ g(\sin^2 x) \sin 2x \]
11. \[ \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C \]
12. 1

三、解答题

13. 【解析】：因为函数 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处无定义，所以 \( x=1 \) 是函数的一个间断点。

    \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} = 0 \]

    \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} = \infty \]

    故 \( x=1 \) 是函数的第二类间断点。

    又因为

    \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \ln(1+x) = 0 \]

    \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{e} \]

    \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} f(x) \]

    故 \( x=0 \) 是函数第一类间断点中的跳跃间断点。

14. 【解析】：（1）符合一阶线性微分方程形式，\( P(x) = 3, Q(x) = 8 \)，代入通解公式，得

    \[ y = e^{-\int_0^x \left( \int_0^x \left[ \frac{\partial}{\partial x} dx + C \right] dx \right) } = e^{-6 \int_0^x \left( \int_0^x \left[ \frac{\partial}{\partial x} dx + C \right] dx \right)} = e^{-6 \left( \frac{8}{3} x^2 + C \right)} \]

    代入初始条件 \( y|_{x=0} = 2 \) 得 \( C = \frac{2}{3} \)

    故方程的解为

    \[ y = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} e^{-6x} \]

    （2）特征方程为

    \[ r^2 - 4r + 5 = 0 \]

    解得特征根为 \( r = 2 \pm i \)，故方程的通解为

    \[ y = e^{2r}(C \cos x + C \sin x) \]

15. 【解析】：由函数式求偏导，令

    \[ f(x,y) = 2x(2+y^2) = 0 \]

    \[ f_x(x,y) = 2x^2y + \ln y + 1 = 0 \]

    得 \( f(x,y) \) 的驻点为 \( \left( 0, \frac{1}{e} \right) \)，从而有

    \[ A = f_x \left( 0, \frac{1}{e} \right) = 2(2+y^2) \left( a_1^2 \right) = 2 \left( 2+\frac{1}{e^2} \right) \]

    \[ B = f_y \left( 0, \frac{1}{e} \right) = 4xy \left( a_1^2 \right) = 0 \]

    \[ C = f_y \left( 0, \frac{1}{e} \right) = \left( 2x^2 + \frac{1}{y} \right) \left( a_1^2 \right) = e \]

    \[ X = B^2 - AC < 0, A > 0 \]

    所以二元函数在 \( \left( 0, \frac{1}{e} \right) \) 处在极小值且极小值

    \[ \left( 0, \frac{1}{e} \right) = -\frac{1}{e} \]

16. 【解析】：直线的方向向量为

    \[ z = n_1 \times n_2 = 2 \]

    \[ \begin{bmatrix} i & j & k \\ -2 & 1 & -7 \\ 4 & -2 & 3 \end{bmatrix} = -7i - 2j + 8k \]

    设所求平面为 \( x \)，法向量为 \( \mathbf{n} \)，因为平面与直线垂直，所以平面的法向量与直线的方向向量平行，故可取 \( \mathbf{n} = [-7, -28] \)，由点法式方程，得平面方程为

    \[ -7(x-1) - 2(y-2) + 8(z-1) = 0 \]

    即

    \[ 7x + 2y - 8z - 3 = 0 \]

17. 【解析】：由方程组

    \[ \begin{cases} y = x \\ \frac{1}{x} \text{得交点}(-1, -1), \, (1). \end{cases} \]

    因为 \( x > 0 \) 所以舍去 \((-1, -1)\)，

    （1）

    \[ S = \int_0^1 x dx + \int_1^2 \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2} x^3 \bigg|_0^1 + \ln \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \ln 2 \]

    （2）

    \[ V = \pi \int_0^1 x^2 dx + \pi \int_1^2 (\frac{1}{x})^2 dx = \frac{\pi}{3} x^3 \bigg|_0^1 - \frac{\pi}{3} \bigg|_1^2 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} \]