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本文包含选择题、填空题和计算题，涉及极限、微分、积分、向量、隐函数、平面图形面积与体积等内容。题目解析详细，涵盖等价无穷小、导数、积分计算、向量运算等数学方法，展示了多种数学问题的求解思路与步骤。
一、选择题
1. 当 \( x \to 0 \) 时，和 \( x \) 等价无穷小的是（ ）
A. \( e^x - 1 \)
B. \(\ln(1-x)\)
C. \(\sin 2x\)
D. \(x(x-\sin x)\)
2. \( f(x) = \ln(x+1) \) 的定义域为？
解析：
\( x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \)，定义域为 \((-1,+\infty)\)。
3. \( y = \sin x \) 在 \( x = \frac{\pi}{4} \) 处的微分为？
解析：
\( dy = \cos x \, dx \)，
\( dy|_{x=\frac{\pi}{4}} = \cos \frac{\pi}{4} \, dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \, dx \)。
4. 已知 \( |\mathbf{a}| = 1 \)，\( |\mathbf{b}| = 2 \)，向量 \(\mathbf{a}\) 和向量 \(\mathbf{b}\) 的夹角为 \( \frac{\pi}{3} \)，求 \( |\mathbf{a} + \mathbf{b}| \)。
